Paladino na Bolsa: Black & Scholes e as Gregas

É o ano de 1973. Fisher Black e Myron Scholes criam um modelo matemático para a avaliação do valor justo dos prêmios de opção de ações, sendo, posteriormente, aprimorado por Robert Merton, e que ficaria conhecido como modelo de Black & Scholes.

Por ter sido concebido com algumas premissas e simplificações, tais como volatilidade do ativo subjacente constante, ausência de custos operacionais, dentre outras, o modelo de precificação possui algumas falhas em relação a sua aplicabilidade, mas, mesmo assim, é o mais utilizado na atualidade em todo o mundo.

Sendo um modelo teórico, os valores apresentados não deve ser tomado como verdade absoluta, pois nem sempre leva em conta as idiossincrasias do mercado que, não raro, negocia ativos (e derivativos) por preços acima ou abaixo do seu “valor justo”. Por isso, o modelo de Black e Scholes não deve ser utilizado para descobrir o valor de uma opção, mas, sim, para simular como modificações no preço do ativo subjacente, no tempo que falta para o vencimento, na volatilidade ou na taxa de juros afetarão o preço de uma opção.

No do final artigo anterior sobre o Moneyness das opções, vimos como diferentes fatores influenciam no prêmio das opções, e que vale a pena aqui recapitular, lembrando apenas que, no Brasil, os dividendos não afetam as opções sobre ações, por serem elas protegidas:

Spot – Quanto maior o valor do ativo subjacente, maior o prêmio das calls e menor o das puts;

Strike – Quanto maior o preço de exercício da opção, menor o prêmio para as calls e maior para as puts;

Tempo – Quanto maior for o tempo que falta para o vencimento, maior o prêmio das calls e das puts;

Taxa de juros – Quanto maior a taxa de juros, maior o prêmio das calls e menor o das puts.

Volatilidade – Quanto maior a volatilidade, maior o prêmio das calls e das puts.

O modelo de Black e Scholes utiliza estes cinco parâmetros para o cálculo do preço teórico de uma opção. A modificação de cada um deles causa alteração no prêmio das opções, que é estimada por suas derivadas parciais, a que se convencionou chamar de “as gregas”.

Dos fatores que interferem no prêmio das opções, apenas a volatilidade apresenta certa dificuldade. Por não sabermos a volatilidade futura do ativo subjacente, só nos resta utilizar a volatilidade histórica como medida de sua estimativa.

Aos mais curiosos, notações sobre o modelo matemático de Black e Scholes podem ser encontradas na Wikipédia.

AS GREGAS

As “gregas” de uma opção são derivadas parciais do prêmio, obtido a partir da fórumla de Black e Scholes, em relação às variáveis mencionadas e sua maior utilidade é servirem de estimativas para o comportamento da opção quando ocorre alteração nos elementos que influenciam seu preço.

São elas: delta, gamma, theta, vega e rho. Vejamos o que representa cada uma delas:

Delta – Representa a taxa de variação esperada no prêmio da opção em relação à variação do preço do ativo subjacente. Em outras palavras, mede quanto o prêmio de uma opção deveria subir (ou cair) para cada acréscimo (ou decréscimo) no preço da ação a ela associada.

Matematicamente, delta é a primeira derivada do prêmio em relação ao preço do ativo subjacente. É uma medida adimensional, sendo, normalmente, expresso em percentual.

Nas calls, o delta assume valores entre o e 100% (ou 0 e 1), ao passo que, nas puts, varia entre -100 e 0% (ou -1 e 0).

Vamos a um exemplo:

Suponhamos que o preço de uma opção seja R$ 2,50 e seu delta seja igual a 50%. Assim, para uma variação de R$ 1,00 no preço do ativo subjacente espera-se uma alteração de R$ 0,50 no prêmio da opção.

Nas opções OTM, o delta tende a zero, girando em torno de ±50% nas ATM, de maior liquidez, e aproximando-se de ± 100% nas ITM.

Sempre que o mercado apresenta pouca volatilidade ou faltam poucos dias para o vencimento das opções, não são esperadas oscilações significativas no valor do ativo subjacente, implicando prêmios de opções com VE reduzido. Neste contexto, delta tenderá aos extremos mais facilmente (0 ou ±100%): as ITM apresentarão valores próximos ao seu VI e as OTM terão grande probabilidade de virar pó.

Em razão da proximidade de valores que apresentam, o delta de uma opção pode ser interpretado como probabilidade de seu exercício. Assim, uma opção que tenha delta de 90% apresenta, aproximadamente, a mesma probabilidade de exercício.

O delta não fica estático com o movimento do mercado. Ao modificar o valor do ativo subjacente, delta também apresentará variação, elevando-se com a valorização do ativo subjacente e decrescendo com a sua desvalorização. Da mesma forma, a passagem do tempo faz com que as opções ITM ganhem delta, as OTM percam delta, sem, contudo, influenciar o delta das ATM.

Gamma - Representa a variação esperada em delta em relação à variação de preço no ativo subjacente.

Em termos matemáticos, gamma é a segunda derivada do prêmio em relação ao preço do ativo subjacente. É também uma medida adimensional, podendo ser expressa em decimais ou em percentual.

Seu valor é sempre positivo, podendo variar, em tese, entre zero e infinito.

Exemplificando:

No nosso exemplo acima, em que delta era igual a 50%, se o gamma for igual a 5%, uma variação de R$ 1,00 no valor do ativo subjacente, implicará um novo valor de delta de 55%.

As opções ATM apresentam maior gamma e se aproxima de zero para opções muito ITM ou OTM.

Theta - Expressa o que ocorre com o preço da opção em função da passagem do tempo. Em termos matemáticos, é a derivada parcial do prêmio em relação ao seu prazo de vencimento, sendo expressa em número de unidades monetárias que o prêmio perde ou ganha com o decurso do tempo.

Theta assume valores quase sempre negativos. Para as calls, é sempre negativo; para as puts, pode assumir valores levemente positivos nas ITM distantes do vencimento.

À medida que se aproxima do vencimento, theta tende a assumir valores mais negativos, tanto em termos absolutos quanto em relação ao prêmio.

As opções que sofrem menor efeito de theta são as ITM, em razão do elevado valor de VI e reduzido valor de VE. Como o efeito do tempo atinge diretamente este último, em termos relativo, o decréscimo é suavizado; nas DITM, o decréscimo do prêmio é quase constante até o vencimento; nas ATM, theta provoca seu maior efeito, tornando-se mais negativa à medida que o vencimento se aproxima.

Vamos ao exemplo:

Uma opção que custe R$ 1,00 e tenha theta de -0,05, com a passagem de um dia, deveria perder R$ 0,05 caso as outras variáveis se mantivessem estáveis. Nesse caso, passaria a custar R$0,95.

Perceba que, mesmo que uma opção ganhe valor de um dia para outro, ela sempre estará perdendo parte desse valor com a passagem do tempo, isto é, ela custaria mais do que essa valorização, caso não houvesse a passagem de um dia.

Vega – Que não é uma letra grega, estima o comportamento do prêmio face à mudança na volatilidade do ativo subjacente. Matematicamente, é a derivada parcial do prêmio em relação à volatilidade, e sua unidade normalmente é a oscilação do prêmio em centavos, correspondente ao incremento de 1 ponto percentual da volatilidade.

Exemplificando:

Se o vega de uma opção é 0,10, isso quer dizer que uma variação de 1 ponto percentual na volatilidade elevará o prêmio de uma opção em R$ 0,10.

Vega assume maior valor em torno das opções ATM, e vai tornando-se irrelevante à medida que a opção fica mais ITM. Em relação às OTM, seu efeito é significativo, pois nestas, o prêmio é relativamente pequeno, apresentando apenas VE, e, sendo reflexo da expectativa, o aumento da volatilidade tende a refletir na incerteza.

Rho - Busca descrever o comportamento do preço da opção em razão da variação da taxa de juros. O fato de as taxas de juros serem estáveis no Brasil faz com que seja a menos importante das gregas.

Matematicamente, rho é a derivada parcial do prêmio em relação à taxa de juros. Sua unidade normalmente é a oscilação do prêmio em centavos, correspondente ao incremento de 1 ponto percentual na taxa de juros.

Rho pode variar, em tese, de zero a infinito, apresentando maiores valores nas opções ITM e menores nas OTM. Sua variação provoca, quase na mesma proporção, idêntico efeito no prêmio.